——《余角与补角》教学案例

蔡似瑜

一、 教学背景

（一）学情分析

本次教学对象为上海市第四聋校七年级学生。五位学生中，一位是轻度听力损失并伴有轻度智力障碍；一位是重度听力损失，佩戴助听器；三位学生植入人工电子耳蜗，他们听力补偿或重建效果都属于适合。因此，在课堂教学与日常生活中，这个班级学生都以听为主，以看话为辅，同时借助少量手语辅助理解。

学业水平：4位学生具备小学阶段所要求的有关图形的认识、计算、操作能力，比较熟练地掌握了直角、锐角、钝角、平角的相关概念和知识，能比较熟练的运用三角尺，掌握了角的基本画法；1位学生基本具有上述能力和相关知识，但熟练度不够，需提供指导或视觉提示；全体学生基本具备学习本课的学业基础。

学习特点：目前学生正处于由表象说图向抽象说理发展的阶段，4位学生已初步具备归纳感性经验抽象形成概念的能力，1位学生还是需要在教师引导和同伴的互助下，借助具体操作初步理解几何概念。本课是数学概念学习，针对学生学习特点的个体差异，制订分层目标，采用“异质分组”，让学生在自主学习与合作互助中取长补短、积累学习经验，使每一位学生在其原有基础上获得不同程度的收获与发展。

（二）教材分析

本班使用的是上海教育出版社出版的义务教育六年级第二学期的《数学》教材，本课的教学内容是第七章《线段与角的画法》中的《余角、补角》。

“余角和补角”是“图形和几何”中第一次出现的“两个角之间的特殊关系”的知识。这个单元共分三教时：

第一教时：理解余角、补角的概念。

第二教时：余角、补角的性质。

第三教时：解决图形中相关的求角问题及应用。

本课是第一教时，重点理解余角、补角的概念。这个知识点是建立在“直角、平角等各种角及两个角的和与差”的基础上，在图形、数量变化关系中，研究“两个角之间的特殊关系”，掌握“两角互余、互补”的概念，为下一步解决图形中相关的求角问题打下基础。

二、 教学设计

（一）教学目标

A层：

1．理解“余角、补角”的概念，能用规范的数学语言描述“互余、互补”的含义。

2．会求一个角的余角、补角，并能作图表示。

3．通过观察操作、合作探究等活动，激发学习几何图形的兴趣。

B层：

1．知道“余角、补角”的概念，能用简单的语言描述“互余、互补”的含义。

2．会求一个角的余角、补角，能在教师或同伴辅助下体验作图过程。

3．通过体验活动，激发学习几何图形的兴趣。

（二）教学重点

理解余角、补角的概念。

（三）教学难点

互余、互补含义的深入认识。

（四）教学媒体资源选择

三角尺、PPT课件、iPad、多媒体教学交互系统、课堂练习单、打印板书、词卡

三、 教学过程

（一）操作感知，引入概念

1．拼角活动（出示PPT，显示学习任务）

用三角尺拼出下面的角：

第一组：75° 90°

第二组：150°180° 90°

请学生上黑板拼角，画出角的顶点和两条边，并写出算式。

学生在组长分配任务后，用彩色三角尺上黑板开展拼角活动。

A层学生用正常规格的黄色、红色三角尺拼75°、90°、150°。

A层学生拼90°的角时拼出了三种方法：一种是用30°和60°两个角拼，一种是45°和45°两个角拼，还有一种用了三个30°的角拼起来。

B层学生使用较大规格三角尺拼180°。

【设计意图：通过拼角活动，一方面复习用三角尺拼角的方法，另一方面渗透两角和在数与形之间的关系。】

2．两角度数之和探究活动——探究两角度数和是90°

PPT演示：

（1）提出问题：这副三角尺按图示摆放，∠1+∠2等于多少度？

（2）小组讨论，个别辅导。

A层学生观察PPT中图形演示过程，小组讨论得出：无论上面三角尺绕着顶点怎样旋转，∠1与∠2的和是不变的，∠1+∠2=90°。

B层学生借助iPad，观察角的动态变化以及数值变化，口答计算∠1+∠2的结果，初步感知∠1+∠2=90°。

（3）小结：像这样两个角的度数之和是90°，它们互为余角。

【设计意图：在PPT图形变化演示中，引导观察∠1和∠2的度数变化，研究“两角度数之和不变”的规律，为建立“互余”概念做准备。活动渗透从“特殊”到“一般”的归纳思维方法。】

（二）归纳表述，理解概念

1．理解“互余”概念

出示PPT：

如果两个角的度数和是90°，那么这两个角互为余角（互余）。其中一个角称为另一个角的余角。

齐读概念，图、文、算式对照，演绎、理解概念。

①∠1和∠2互余，用算式怎样表示？

②“其中一个角称为另一个角的余角”怎么理解？

学生口述，教师板书：

∠1和∠2互余 ∠1+∠2=90°

∠1是∠2的余角 ∠1=90°-∠2

∠2是∠1的余角 ∠2=90°-∠1

结合黑板上的实例，请学生说出哪两个角互余。

引导B层学生参与学习，和A层同学一起说一说。

【设计意图：通过抽离三角尺，抽象出互余的概念，凸显数学概念的抽象过程。

学生结合数量关系，将文字语言、图形语言与符号语言进行互相转译，在掌握新的数学语言过程中加深对“互余”概念的理解。】

2．理解“互补”概念

（1）探究两角度数和是180°

PPT演示：

指导学生运用类比方法，学习互补的概念。

（2）理解“互补”概念

出示PPT：

如果两个角的度数和是180°，那么这两个角互为补角（互补）。其中一个角称为另一个角的补角。

A层学生说、写、板演：

①∠3和∠4互补，∠3+∠4=180°

②∠3是∠4的补角，∠3=180°-∠4

③∠4是∠3的补角，∠4=180°-∠3

B层学生聆听、模仿并完成“互补”的概念的填空。

【设计意图：由互余概念类比得到互补的概念，学生在此过程中学会用学习余角的方法来学习补角。】

3．比较“互余、互补”的异同点

师：学习了互余、互补的概念，你们说说它们有什么相同点和不同点？

A层学生：互余、互补都是两个角的和，都有“互为”这个词。

不同的是互余是两个角的和是90°，互补是两个角的和是180°,名称也不同。

(学生在两条概念上用不同颜色的记号笔进行圈划。)

B层学生：再次朗读互余、互补的概念。

（三）多层活动，巩固概念

1．辨一辨

出示PPT：

①因为∠ =89°，所以∠ 的余角是1°。 （ ）

②∠1+∠2=90 °，∠1和∠2互为补角。 （ ）

③∠ 是余角。 （ ）

指导学生读题，做出判断。B层学生选择一题复述A层学生的回答。

【设计意图：通过辨析，加深理解概念中的关键词“两个角的度数和”“互为”的含义。】

2．填一填

出示PPT：

∠ 20° 45° 53° 90° 165° n°（0<n<90）

∠ 的余角 / /

∠ 的补角

指导学生观察表格，思考：

①锐角的余角是什么角？

②锐角的补角是什么角？

还有其他发现吗？

【设计意图：经历求一个已知角的余角及补角的过程。 从对表格中数据的分析，加深对互余、互补概念的理解和对角的认识。】

B层学生通过口算填表。

A层学生口算，算出一个角的余角或补角。

然后观察表格回答：互余的两个角都是锐角，特殊情况互余且相等的角是45°。

互补的两个角一个是锐角，另一个是钝角，特殊情况互补且相等的角是90°

3．画一画

出示PPT：

请利用三角尺画出∠1的余角和∠ 的补角，并表示出来。

A层学生独立完成，两位学生板演并说说画法。

生1：我把三角尺直角的一条直角边与∠1的一条边重合，然后画出另一条直角边，这个角就是∠1的余角，我给它取名为∠2。

生2：我把∠ 的一条边反向延长形成平角，这个角就是∠ 的补角。这个角可以叫做∠ 。（指图说明）

B层学生在老师辅导下体验画余角的过程。

【设计意图：通过画一个角的余角、补角，进一步理解余角、补角的概念，弄清两个角互余、互补的图形关系。】

4．想一想

出示PPT：

如图，O是直线AB上的一点，∠BOC=90°,∠DOE=90°，

请找出∠COE的余角。

根据已知条件，用三角尺分割图形，引导学生能在复杂图形中找到互余的角。

A层学生能够依据余角的图形特点和本题的已知条件，找到一个或两个∠COE的余角。也有的同学是借助三角尺的直角，再次建立互余的两个角的位置关系。

B层学生能够认真倾听同学的发言，参与到问题的思考过程中去。

【设计意图： 本练习是互余概念的拓展，重点是指导学生弄清两角之和为90°的图形关系，在头脑中经历图形组合再构的过程，发展空间观念。】

（四）总结提升，反馈评价

请学生说说今天的学习收获和体会。

A层生1：今天我们学习了余角、补角的概念。我们知道了当两个角的度数和为90°时，这两个角互余。如果两个角的度数和为180°时，这两个角互补。

A层生2：通过今天的学习我知道了钝角没有余角，只有补角。锐角既有余角也有补角。

A层生3：我知道了互余且相等的角是45°，互补且相等的角是90°。

B层学生：我知道30°的角和60°的角互为余角。

师总结：互补与互余都是研究两个角的和，互补是两个角的和是180°，互余是两个角的和是90°。“互为”就是一个角是另一个角的余角，那么另一个角也是这个角的余角。

（五）布置作业

1．必做题

①复习余角、补角的概念。

②完成P105/1、2。

2．选做题

如上图，O是直线AB上的一点，∠BOC=90°,∠DOE=90°,

图中互为余角的角共有多少对？分别是哪些？互为补角的呢？

提示学生：这道题与上课讲的那道题图形是一样，但是问题不一样，希望回家有兴趣的同学，能够认真思考，下节课一起来讨论交流。

三、教学反思

本堂课，学生思维活跃，参与学习活动积极、主动，在观察、操作、归纳、探究等活动过程中，体会到“类比”“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想，体会到探究几何问题的基本方法，并学会用规范的几何语言对相关问题进行口头表述，不同层次的学生从数和形的角度都能理解概念的本质，课堂效果良好。这都得益于：

（一）关注个体差异，制订目标

课前依据学生学业水平与学习能力的差异性，制订了教学分层目标，强化操作体验和个别化辅助，帮助学生有效建立几何直观模型，理解并能初步掌握“互余、互补”的概念。

（二）开展多层面活动，落实分层

在拼角活动中，为学生提供大小不同、数量不一的三角尺以适应他们不同的操作能力，满足思维发展的需要；在探究活动中，运用PPT演示和iPad动态呈现等不同形式的载体，既注重发展A层学生自主学习的能力，又适应了B层学生形象化学习特点的需求；在巩固练习中，通过辩一辩、填一填、画一画等不同层次的练习题和设计的个性化作业，使学生进一步理解并掌握概念。

（三）强化课堂对话，发展语言

在小组讨论、集体学习、个别辅导中，学生们逐渐熟悉与“余角、补角”概念相关的数学图形、文字、符号语言的转译，由表象说图上升到抽象说理的层面。在操作交流中掌握并理解概念，提升了数学语言的表达能力，体现出了思维的条理性和有序性。

在后续教学中还需进一步结合生活，让学生用学到的“余角与补角”的相关知识去解决生活中简单的实际问题，让学生体验到数学知识来自于生活，最后又回归到生活中去。

（作者单位: 上海市第四聋校）

【专家点评】

于素红（华东师范大学特教系教授）：

本节课的主要目标是理解余角、补角的概念,整体而言，难度比较大。首先，几何概念的学习是聋生数学学习的难点之一。其次，学生个体间差异大。尽管整个班级只有5位学生，但其中还有一位既听障又轻度智障的多重障碍学生。蔡似瑜老师这节课真正做到了量身定制，个性发展，在集体教学中让每位学生都进行了高效学习。

“量身”是“定制”的基础。蔡老师在设计教学之初，关注了学生以下几个方面的情况：一是每位学生的听力损失情况以及教师适宜的语言信息呈现方式。5位学生都是以听为主，伴以少量的看话和看手势，所以教师在教学时就要以口语为主，伴以少量手势语；二是每位学生的基本学习能力、特别是学习本节课的已有基础。在学习几何概念方面，4位学生处于由表象说图向抽象说理的阶段，那位多重障碍的学生则需要在教师或同学的帮助下形象化地学习图形的基础知识；三是聋生学习几何概念的主要困难，那就是实现图形语言、文字语言、符号语言的转译。

基于对学生多方面情况的确切了解，蔡老师对教学做了精心安排：首先，制订了恰当的教学目标。本节课采用制订A、B层分层目标的方式，保证每位学生的目标都是适合的；其次，设计了科学的教学环节。紧紧围绕余角、补角的概念理解，安排了4个环节：数形感知、引入概念，操作演绎、理解概念，辨析交流、巩固概念，总结提升、运用概念。教学环节间层层递进，条理清晰。纵观整个教学过程，本节课有两个亮点：重视学生的操作活动，让学生在活动中体验，加深对概念的理解；重视师生的课堂互动对话，通过对话提高学生理解数学语言、运用数学语言的能力。第三，在同一教学进程中兼顾差异。蔡老师的策略有两个。一是在每个教学环节对每位学生的学习都做了精心安排。以B层的多重障碍学生为例，教师为其提供了学具支持：使用大些的三角尺，运用iPad观察动态的图形变化；学习相同的内容时，适当降低要求：别的同学独立回答问题，该同学可以聆听模仿或者复述板书；别的同学独立作图，该同学可以在教师的指导下作图。第二个策略是异质分组，学生自主学习。异质分组，学生可以互相帮助，这样的帮助自然、方便、有效。自主学习，使得教师有时间帮助能力较弱的学生。

正是通过这样的量身定制、精心教学，所有学生都达成了自己的目标。